Цікава матетатика: "Мова математиків"

Символ (TeX)	Символ (Unicode)	Назва	Значення	Приклад
		Вимова
		Розділ математики
$\Rightarrow \,$	⇒	Імплікація, слідування	$A\Rightarrow B\,$ означає «коли $A$ істинне, то $B$ також істинне». Іноді використовують $\rightarrow \,$ .	$x=2\Rightarrow x^{2}=4\,$ істинне, але $x^{2}=4\Rightarrow x=2\,$ хибно (тому що $x=-2$ також є розв'язком).
		«з… випливає» або «якщо…, то…»
		скрізь
$\Leftrightarrow$	⇔	Рівносильність	$A\Leftrightarrow B$ означає « $A$ істинне тоді і тільки тоді, коли $B$ істинне».	$x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y\,$
		«тоді і тільки тоді» або «рівносильно»
		скрізь
$\wedge$	∧	Кон’юнкція	$A\wedge B$ істинне тоді і тільки тоді, коли $A$ і $B$ обидва істині.	$(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)$ , якщо $n$ —натуральне число.
		«і»
		Математична логіка
$\vee$	∨	Диз’юнкція	$A\vee B$ істинне, коли хоча б одна з умов $A$ або $B$ є істинною.	$(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\neq 3$ , якщо $n$ —натуральне число.
		«або»
		Математична логіка
$\neg$	¬	Заперечення	$\neg A$ істинне тоді і тільки тоді, коли хибно $A$ .	$\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\Leftrightarrow \neg (x\in S)$
		«не»
		Математична логіка
$\forall$	∀	Квантор загальності	$\forall x,P(x)$ означає « $P(x)$ істинне для всіх $x$ ».	$\forall n\in \mathbb {N} ,\;n^{2}\geqslant n$
		«Для будь-яких», «Для всіх»
		Математична логіка
$\exists$	∃	Квантор існування	$\exists x,\;P(x)$ означає «існує хоча б одне $x$ таке, що вірно $P(x)$ »	$\exists n\in \mathbb {N} ,\;n+5=2n$ (підходить число 5)
		«існує»
		Математична логіка
$=\,$	=	Рівність	$x=y$ означає « $x$ і $y$ означають один і той же об’єкт».	1 + 2 = 6 − 3
		«дорівнює»
		скрізь
$:=$ $:\Leftrightarrow$ ${\stackrel {\rm {def}}{=}}$	:= :⇔	Визначення	$x:=y$ означає « $x$ за визначенням дорівнює $y$ ». $P:\Leftrightarrow Q$ означає « $P$ за визначенням рівносильно $Q$ »	${\rm {ch}}(x):={1 \over 2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ (Гіперболічний косинус) $A\oplus B:\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (Виключаюче або)
		«дорівнює/рівносильно за визначенням»
		скрізь
$\{,\}$	{ , }	Множина елементів	$\{a,\;b,\;c\}$ означає множина, елементами якої є $a$ , $b$ та $c$ .	$\mathbb {N} =\{0,\;1,\;2,\;\ldots \}$ (множина натуральних чисел)
		«Множина…»
		Теорія множин
$\{\|\}$ $\{:\}$	{ \| } { : }	Множина елементів, що задовольняють умові	$\{x\,\|\,P(x)\}$ означає множину усіх $x$ таких, що істинне $P(x)$ .	$\{n\in \mathbb {N} \,\|\,n^{2}<20\}=\{0,\;1,\;2,\;3,\;4\}$
		«Множина всіх… таких, що істинне…»
		Теорія множин
$\varnothing$ $\{\}$	∅ {}	Порожня множина	$\{\}$ і $\varnothing$ означає множину, що не містить жодного елементу.	$\{n\in \mathbb {N} \,\|\,1<n^{2}<4\}=\varnothing$
		«Порожня множина»
		Теорія множин
$\in$ $\notin$	∈ ∉	приналежність/неприналежність до множини	$a\in S$ означає « $a$ є елементом множини $S$ » $a\notin S$ означає « $a$ не є елементом $S$ »	$2\in \mathbb {N}$ ${1 \over 2}\notin \mathbb {N}$
		«належить», «з» «не належить»
		Теорія множин
$\subseteq$ $\subset$	⊆ ⊂	Підмножина	$A\subseteq B$ означає «кожний елемент з $A$ також є елементом з $B$ ». $A\subset B$ як правило означає те ж, що і $A\subseteq B$ . Однак деякі автори використовують $\subset$ , щоб показати строге включення (а саме $\subsetneq$ ).	$(A\cap B)\subseteq A$ $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$
		«є підмножиною», «включено в»
		Теорія множин
$\subsetneq$	⫋	Власна підмножина	$A\subsetneq B$ означає $A\subseteq B$ і $A\neq B$ .	$\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Q}$
		«є власною підмножиною», «строго включається в»
		Теорія множин
$\cup$	∪	Об’єднання	$A\cup B$ означає множину елементів, що належать $A$ або $B$ (або обом одразу).	$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
		«Об’єднання … і …», «…, об’єднане з …»
		Теорія множин
$\cap$	⋂	Перетин	$A\cap B$ означає множину елементів, що належать і $A$ , і $B$ .	$\{x\in \mathbb {R} \,\|\,x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$
		«Перетин … і … », «…, перетнуте з …»
		Теорія множин
$\setminus$	\	Різниця множин	$A\setminus B$ означає множину елементів, що належать $A$ , але не належать $B$ .	$\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\}=\{1,\;2\}$
		«різниця … і … », «мінус», «… без …»
		Теорія множин
$\to$	→	Функція	$f\!\!:X\to Y$ означає функцію $f$ , що відображає множину (область визначення) $X$ у множину $Y$ .	Функція $f\!\!:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ , що визначення як $f(x)=x^{2}$
		«з … в»,
		скрізь
$\mapsto$	↦	Відображення	$x\mapsto f(x)$ означає, що образом $x$ після застосування функції $f$ буде $f(x)$ .	Функцію, що визначення як $f(x)=x^{2}$ , можна записати так: $f\colon x\mapsto x^{2}$
		«відображується в»
		скрізь
$\mathbb {N}$	N або ℕ	Натуральні числа	$\mathbb {N}$ означає множину $\{1,\;2,\;3,\;\ldots \}$ або $\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$ (в залежності від ситуації).	$\{\left\|a\right\|\,\|\,a\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {N}$
		«Ен»
		Числа
$\mathbb {Z}$	Z або ℤ	Цілі числа	$\mathbb {Z}$ означає множину $\{\ldots ,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots \}$	$\{a,\;-a\,\|\,a\in \mathbb {N} \}=\mathbb {Z}$
		«Зет»
		Числа
$\mathbb {Q}$	Q або ℚ	Раціональні числа	$\mathbb {Q}$ означає $\left\{\left.{p \over q}\right\|p\in \mathbb {Z} \wedge q\in \mathbb {Z} \wedge q\neq 0\right\}$	$3,\!14\in \mathbb {Q}$ $\pi \notin \mathbb {Q}$
		«Ку»
		Числа
$\mathbb {R}$	R або ℝ	Реальні числа, або дійсні числа	$\mathbb {R}$ означає множину всіх меж послідовностей з $\mathbb {Q}$	$\pi \in \mathbb {R}$ $i\notin \mathbb {R}$ ( $i$ — комплексне число: $i^{2}=-1$ )
		«Ер»
		Числа
$\mathbb {C}$	C або ℂ	Комплексні числа	$\mathbb {C}$ означає множину $\{a+b\cdot i\,\|\,a\in \mathbb {R} \wedge b\in \mathbb {R} \}$	$i\in \mathbb {C}$
		«Це»
		Числа
$<\,$ $>\,$	< >	Порівняння	$x<y$ означає, що $x$ є строго меншим від $y$ . $x>y$ означає, що $x$ є строго більшим від $y$ .	$x<y\Leftrightarrow y>x$
		«менше ніж», «більше ніж»
		Відношення порядку
$\leqslant$ $\geqslant$	≤ або ⩽ ≥ або ⩾	Порівняння	$x\leqslant y$ означає, що $x$ є меншим або дорівнює $y$ . $x\geqslant y$ означає, що $x$ є більшим або дорівнює $y$ .	$x\geqslant 1\Rightarrow x^{2}\geqslant x$
		«менше або дорівнює»; «більше або дорівнює»
		Відношення порядку
$\approx$	≈	Приблизна рівність	$e\approx 2,\!718$ з точністю до $10^{-3}$ означає, що 2,718 відрізняється від $e$ не більше ніж на $10^{-3}$ .	$\pi \approx 3,\!1415926$ з точністю до $10^{-7}$ .
		«приблизно дорівнює»
		Числа
${\sqrt {}}$	√	Арифметичний квадратний корінь	${\sqrt {x}}$ означає додатне дійсне число, яке в квадраті дає $x$ .	${\sqrt {4}}=2$ ${\sqrt {x^{2}}}=\left\|x\right\|$
		«Корінь квадратний з …»
		Числа
$\infty$	∞	Нескінченність	$+\infty$ та $-\infty$ суть елементи розширеної множини дійсних чисел. Ці символи позначають числа, що є меншими/більшими від усіх дійсних чисел.	$\lim \limits _{x\to 0}{1 \over \left\|x\right\|}=\infty$
		«Плюс/мінус нескінченність»
		Числа
$\left\|\;\right\|$	\| \|	Модуль числа (абсолютне значення), модуль комплексного числа або потужність множини	$\left\|x\right\|$ означає абсолютну величину $x$ . $\|A\|$ означає потужність множини $A$ та дорівнює, якщо $A$ скінченна, числу елементів $A$ .	$\left\|a+b\cdot i\right\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
		«Модуль»; «Потужність»
		Числа и Теорія множин
$\sum$	∑	Сума, сума ряду	$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ означає «сума $a_{k}$ , де $k$ приймає значення від 1 до $n$ », а саме $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ . $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ означає суму ряду, що складається з $a_{k}$ .	$\sum _{k=1}^{4}k^{2}=$ $=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}$ $=30$
		«Сума … по … від … до …»
		Арифметика, Математичний аналіз
$\prod$	∏	Добуток	$\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ означає «добуток $a_{k}$ для усіх $k$ від 1 до $n$ », а саме $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}$	$\prod _{k=1}^{4}(k+2)=$ $=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Добуток … по … від … до …»
		Арифметика
$\int dx$	∫	Інтеграл	$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ означає «Інтеграл від $a$ до $b$ функції $f$ від $x$ по змінній $x$ ».	$\int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx=b^{3}/3$ $\int x^{2}\,dx=x^{3}/3$
		«Інтеграл (від … до …) функції … по…»
		Математичний аналіз
${\frac {df}{dx}}$ $f'(x)$	df/dx f'(x)	Похідна	${\frac {df}{dx}}$ або $f'(x)$ означає «(перша) похідна функції $f$ від $x$ по змінній $x$ ».	${\frac {d\cos x}{dx}}=-\sin x$
		«Похідна … по …»
		Математичний аналіз
${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ $f^{(n)}(x)$	$d^{n}f/dx^{n}$ $f^{(n)}(x)$	Похідна $n$ -го порядку	${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$ або $f^{(n)}(x)$ (в другому випадку якщо $n$ — фіксоване число, то воно пишеться римськими цифрами) означає « $n$ -я похідна функції $f$ від $x$ по змінній $x$ ».	${\frac {d^{4}\cos x}{dx^{4}}}=\cos x$

Цікава матетатика

Сторінки

"Мова математиків"

Немає коментарів:

Дописати коментар